Contraste, Fit \(\rho\)
Fonction \(\rho:\mathcal X\times\Theta\to{\Bbb R}\) qui (idée) vérifie pour un \(\infty\)-
Echantillon : $$\forall\theta\in\Theta,\qquad\quad{\Bbb E}_{\theta_0}[\rho^-(X_1,\theta)]\lt \infty\implies\underbrace{\frac1n\sum^n_{i=1}\rho(X_i,\theta)}_{=:\;\hat \rho_n}\;\overset{{\Bbb P}_{\theta_0}-ps}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\;\; \underbrace{{\Bbb E}_\theta[\rho(X,\theta)]}_{=:\;D(\theta_0,\theta)}$$
- axiomes :
- L'Espérance de la Partie négative est finie : \(\forall\theta\in\Theta,\quad{\Bbb E}_\theta[\rho^-(X,\theta)]\lt \infty\)
\(\forall\theta_0\in\Theta\), \({\Bbb E}_{\theta_0}[\rho(X,\theta)]\) est minimale pour \(\theta=\theta_0\)
- on notera \(D(\theta_0,\theta)\) \(:={\Bbb E}_{\theta_0}[\rho(X,\theta)]\)
- de cette manière, \(\hat\rho_n\) est une approximation de \(D(\theta_0,\theta)\)
- on peut alors approximer \(\theta_0\) via \(\hat\theta_n=\arg\min_\Theta\hat\rho_n\)
- de manière générale, si \(X\sim\mu\), on peut définir \(D(\mu,\theta):=\) \(\int_\mathcal X\rho(x,\theta)\,d\mu(x)\)
Exercices
